平 成 29 年 度
試験問題(記述式)
数
学
(注意) 解答はすべて別紙解答用紙の定められた欄に書くこと。
以下の問に答えよ。
⑴ 三角形ABCにおいて，BC＝a，AB＝c，a cosA＝c cosC であるとする。このとき，ABCはどのような三角形か。
⑵ 座標平面上に放物線C：y ＝x2− 2x − 3，直線l
1，l2がある。l1，l2は点P1(−1，0)を通るものとし，C とl1の 点
のうちP1ではない方をP2，C とl2の 点のうちP1ではない方をP3とする。線 P1P3とC で囲まれる図形の面積が線
P1P2とC で囲まれる図形の面積の８倍で，P3のx 座標からP2のx座標を引いた値が５のとき，P3のy座標はP2のy座標
の何倍か。
⑶ 平面上にあるn個の円は，どの円も他のすべての円と２つの 点をもち，３つ以上の円は１点で わらないように描かれ
ているものとする。このとき，すべての 点の数をa nとする。a p−a q＝ 140，p −q＝ 4であるとき，p はいくらか。
以下の問に答えよ。
⑴ 多項式f(x)＝ (x− c)2n＋1(x ＋ c)2n(x ＋c)2nのx kの係数を
a k(k ＝ 0，1，2，…，8n＋1)とする。ここでnは自然
数，c は正の実数とする。このとき，以下の問に答えよ。
ⅰ c ＝ 4のとき，8n＋1
k＝1a k はいくらか。
ⅱ c ＝ 2，n＝ 17のとき，a kが最大となるk はいくらか。
⑵ 長さ 1kmの区間を車が定速で走行するものとする。１回目の走行では速度c km/h，２回目の走行では速度 2c km/h，３
回目の走行では速度 3c km/hとc km/hずつ速度を上げていき，この区間を 2n 回走行する。ここで，nは自然数，c は正の
定数である。１回目からn回目までの走行にかかる時間の 和をS1(時間)，n＋1回目から 2n回目までの走行にかかる時間
の 和をS2(時間)，奇数回目の走行にかかる時間の 和をS o(時間)，偶数回目の走行にかかる時間の 和をS e(時間)とす
る。このとき，以下の問に答えよ。
ⅰ S o−S eをS2の関数で表せ。
ⅱ lim
n→∞(S o−S e)＝ 1となるcはいくらか。
1
(ページ数)
500円，100円，50円の 貨が１枚ずつある。１回目の試行で３枚の 貨を投げ，表が出た 貨をもらうことができる。２回
目の試行では，残った 貨を投げ，やはり表が出た 貨をもらうことができる。３回目以降も同様とし，この試行を繰り返し，
もらえる金額が600円以上になったらこの試行は終了するものとする。このとき，以下の問に答えよ。
⑴ １回目の試行で終わる確率，２回目の試行で終わる確率はそれぞれいくらか。
⑵ k 回の試行以内で終わる確率をk の関数として表せ (k ＝ 1，2，3，…)。
⑶ 上記の50円 貨を100円 貨に入れ替える。すなわち500円 貨が１枚，100円 貨が２枚あるときに，上記の試行を行う。
このとき，k 回の試行以内で終わる確率をk の関数として表せ。
以下の問に答えよ。
⑴ 座標平面上に１辺の長さが８の正方形OABCを作る。Oは原点，Aは (8,0)，Cは (0,8)とする。ある直線が辺OCと
AB上を通り，OABCの面積を２等 するとき，この直線の傾きが取り得る範囲を求めよ。また，この条件を満たす直線が
必ず通る点があれば，その座標を求めよ。
⑵ 座標平面上に１辺の長さが８の正三角形OABを作る。Oは原点，Bは (0,8)，Aは第１象限にあるものとする。ある直
線が辺OAとOB上を通り，△OABの面積を２等 するとき，この直線が△OAB上に取り得る範囲を図示せよ。
